જો $f(x) = \sqrt{x^2 + x} + \frac{\tan^2 \alpha}{\sqrt{x^2 + x}}$,જ્યાં $\alpha \in (0, \pi/2)$ અને $x > 0$ હોય,તો $f(x)$ ની કિંમત કોના કરતા મોટી અથવા તેના જેટલી હોય?

વિધેય $f: [\frac{1}{2}, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ ને $f(x) = 4\sqrt{2}x^3 - 3\sqrt{2}x - 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરો. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(I)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને બરાબર એક બિંદુએ છેદે છે.
$(II)$ વક્ર $y = f(x)$ એ $x$-અક્ષને $x = \cos \frac{\pi}{12}$ પર છેદે છે.
તો:

જો વિધેય $g(x)$ એ $[-1, 1]$ માં વ્યાખ્યાયિત હોય અને સમબાજુ ત્રિકોણના બે શિરોબિંદુઓ $(0, 0)$ અને $(x, g(x))$ હોય અને તેનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{3}}{4}$ હોય,તો $g(x)$ બરાબર શું થાય :-

નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:
$(i)$ સંબંધ એ વિધેયનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.
$(ii)$ વિધેય એ સંબંધનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.
$(iii)$ સંબંધ અને વિધેય બંને સમાન છે.

ધારો કે $f(x) = \frac{\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}}}{\sqrt{x - 1} - 1}$. તો:

ધારો કે $f(x) = x^{12} - x^9 + x^4 - x + 1$. નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?